Modelarea şi simularea numerică a evoluţiei sistemelor sociale

Raport de cercetare I.C.I. Bucureşti, 1980

Cristache Gheorghiu

 

Publicat prescurtat în „ Buletinul Român de Informatică” şi în extenso în volum independent.

 

Rezumat

În evoluţia sistemelor sociale se observă două caracteristici importante: tendinta de autonomie a elementelor componente şi comunicare probabilistică a informaţiior între elemente.

Pe baza acestor trăsături s-a construit un model matematic al sistemelor sociale. Modelul face posibilă simularea evoluţiei unor asfel de sisteme pe calculator.

 

 

 

1. INTRODUCERE

 

Din observarea mecanismelor de funcţionare a sistemelor economico-sociale, în vederea modelării lor matematice, se evideanţiază două particularităţi esenţiale ale acestui tip de siseme:

 

a) Omul, şi prin el tot ceea ce îl conţine ca element component, deci orice tip de grupare socială, nu se comportă asemenea unor automate cu legi de funcţionare precise. De aceea, cunoscuta metodă “black box”, perfect valabilă în cazul obiectelor concepute şi construite de om, devine ineficace în studiul sistemelor sociale. Diferenţa esenţială constă în comportarea lor diferită la stimulii externi: în timp ce primele au o reacţie bine cunoscută în baza unor legi de transformare date, în cazul sistemelor sociale, reacţiile sunt aleatoare, cunoscute cel mult cu o oarecare probabilitate. Printre cauze, identificăm:

• tendinţa de autonomie a elementelor componente;
• existenţa unei logici particulare (nu neapărat perfecte) a fiecărui element;
• variabilitatea informaţiilor despre mediul extern reţinute de către fiecare element si, de aici, variabilitatea modelelor logice interne;
• dorinţa de optimizare a propriilor performanţe în condiţii de concurenţă, etc.

 

b) Transmiterea informaţiilor între indivizi în interiorul grupurilor sociale, ca şi între grupuri, se face după reguli specifice, reguli care au un grad foarte mare de imprecizie şi unde, pe lângă norme oficiale sau etice, intervin interese, afinităţi, etc., care fac utilizabile sau, dimpotriva, pot bloca diferite canale de comunicaţie.

 

În aceste conditii, este evident ca simpla aplicare la domeniul social a unor tehnici clasice pentru alte domenii nu mai este satisfăcătoare. Eforturi convergente de elaborare a unui instrument matematic şi informatic propriu domeniului social se depun astăzi de către mulţi cercetători, în majoritatea ţărilor dezvoltate. Pe această direcţie se înscrie şi încercarea noastră de a surprinde cu mijloacele informaticianului câteva dintre trăsăturile caracteristice ale sistemelor de acest tip, demers absolut necesar pentru construirea unui model matematic cât mai pertinent.

 

După cum se ştie, o calitate esenţială a organismelor din lumea vie este capacitatea lor de adaptare la variaţiile mediului extern. Pentru societate, această capacitate are două laturi, deoarece la variabilitatea mediului extern trebuie adăugată variabilitatea internă, datorată libertăţii de mişcare a elementelor componente ale societăţii luată în studiu. Funcţionarea corelată a acesteia vis-a-vis de imperativele adaptării permanente, este posibilă numai datorită capacităţii lor de a-şi transmite reciproc şi de a păstra infomaţii. Modul în care se realizează această comunicare este încă puţin studiat astfel încât nu dispunem de un instrument matematic adecvat pentru a-l reproduce într-un model care să facă posibilă simularea lui pe un calculator electronic. Este una dintre problemele pe care încercăm să le atacăm în această lucrare.

 

Vom compara în acest scop sistemul social cu o constelaţie de elemente, care emit semnale ce cuprind mesaje cu privire la interesele proprii. Semnalul are drept caraceristică principală energia, care este proporţională cu puterea de emiţătorului. Energia scade însă odată cu distanţa şi cu rezistenţa drumului parcurs de semnal în spaţiul social. (Similitudinile cu principiile valabile în Teoria Comunicaţiilor sunt evidente, dar nu suficiente.) Probabilitatea recepţionării unui mesaj depinde în primul rând de energia rămasă a semnalului la locul de recepţie. În aceaşi timp, fiecare componentă recepţionează şi alte semnale. Al doilea prag este străbaterea filtrului pe care fiecare element şi-l construieşte în vederea anihilării semnalelor nedorite. Odată captat un semnal, dacă între emiţător şi receptor există interese comune – amicale sau adverse – atunci între ele se va realiza o legătură sau se va stimula una existentă, deci sistemul se va adapta la situaţia nou ivită.

 

Această metaforă, pentru a fi programată pe calculator, trebuie mai întâi să fie algoritmizată, iar noţiunile de putere, distanţă, etc. trebuie să fie cuantificabile.

 

Tendinţa de autonomie a componentelor sistemelor sociale crează încă o particularitate de care trebuie să ţinem seama. Având mai multă sau mai puţină libertate de mişcare, apartenenţa la un sistem a unei componente este relativă, deoarece ea este legată prin diferite interese şi cu alte sisteme. Deplasarea ponderii de la un sistem la altul este oricând posibilă şi de aici şi până la desprinderea completă din sistem nu este decât un pas. Aceeaşi problemă se pune şi în interiorul sistemului şi este dictată de comunitatea de interese a membrilor. Informaţiile se transmit sau nu în funcţie de interese şi afinitiăţi. În final sisemul va funcţiona mai mult sau mai puţin corelat. Vorbirea însăşi a apărut din necesităţi de comunicare în interiorul grupurilor. Dacă membrii grupului nu comunică între ei, grupul nu este eficient, atât în comuna primitivă cât şi în societăţile moderne. Cheia succesului rămâne deci interesul comun.

 

 

2. SISTEM ŞI STRUCTURĂ ÎN UNIVERSUL SOCIAL

 

Vom începe prin a defini câteva dintre noţiunile folosite mai departe. Operaţiunea s-a impus nu pentru că ele nu ar fi cunoscute ci, dimpotrivă, pentru că, datorită utilizării lor în diferite accepţiuni, este necesară precizarea sensului în care se vor folosi de către noi pe parcursul acestei lucrări.

 

O societate este precizată de către cercetător în momentul analizei, prin decuparea ei dintr-un univers social, deci un univers populat cu oameni. Marginile societăţii sunt astfel trasate încât să închidă subiectul studiat. Uneori limitele sunt vag stabilite şi identificarea teoretică, din necesităţi de calcul, a societăţilor în acest univers poate fi o altă problemă, rezolvabilă eventual prin procedurile elaborate în Teoria Clasificării. Noi presupunem această problemă ca fiind rezolvată în momentul în care ne propunem să abordăm simularea sistemului.

 

Orice sistem social este format din elemente componente, elemente care în cuprinsul lucrării vor fi numite celule sau entităţi sociale.

 

Atât sistemul cât şi celula sunt noţiuni gnoseologice şi nu ontice, deoarece ele se definesc în procesul cunoaşterii: sistemul prin delimitarea subiectului de cercetat, iar celulele odată cu stabilirea structurii sistemului, potrivit înţelegerii noastre a mecanismelor de funcţionare a sistemului.

 

Desfacerea unui sistem în celule este posibl numai pe un singur nivel. Reconsiderarea celulei ca sistem şi descompunerea ei în continuare, trebuie privită ca o altă problemă şi nu ca pe o continuare a primei, deoarece este vorba despre un alt sistem, în care guvernează alte legi. Explicaţia rezidă în aceea că un sistem este mai mult decât suma părţilor sale, aşa cum, spre exemplu, o moleculă de apă este altceva decât suma atomilor de oxigen şi hidrogen care o compun. Punând accentul pe totalitate, înţelegând prin aceasta că sistemul are alte proprietăţi decât oricare dintre părţi, ni se interzice de fapt extrapolarea legilor specifice unui sistem, mai ales când ele se găsesc pe nivele diferite. Din punct de vedere informatic, vom avea de-a face cu un pachet de programe încapsulat într-un alt pachet.

 

Pentru stabilirea legăturilor dintre celule trebuie identificate şi cuantificate fluxurile materiale şi ne-materiale (cunoştinţe ştiinţifice sau culturale, relaţii de rudenie, tradiţii, etc.), care circulă între celule. Caracteristica principală a oricărui flux este debitul. Nu vom trata decât fluxurile directe dintre celule, adică cele care pot fi reprezentate ca arce într-un graf. Noţinuea de drum din Teoria Grafurlor, adică de lanţ de arce nu prezintă interes în acest moment.

 

Obiectivul unei celule este trasformarea unor fluxuri de intrare în fluxuri de ieşire, în limitele unor parametri de performanţă proprii.

 

Rezultă de aici că, în studiul unui sistem, accentul cade mai mult pe circulaţia şi transformarea fluxurilor decât pe celule. Este vorba despre o analiză „funcţională” şi nu despre una „atomistă”. Structura sistemului este determinată tocmai de circulaţia fluxurilor. Izolarea şi delimitarea celulelor este o consecinţă a structurării sistemului din punct de vedere al circulaţiei fluxurilor.

 

Aşa după cum rolul celulelor este să transforme fluxuri de intrare în fluxuri de ieşire, afirmaţia rămâne valabilă şi pentru societatea din care fac parte, deoarece societatea este la rândul ei o celulă într-un alt sistem, de ordin supeiror, dar – atenţie - acesta are alte mecanisme de funcţionare. Fluxurile care privesc societatea se vor numi fluxuri de homeostază. Valorile lor, constante sau variabile – dar cu legi de variaţie cunoscute – trebuie realizate cu orice pret, constituind legea de fier a sistemului, sensul existentei sale, care nu poate fi discutat din interior, ci numai la nivelul superior. Orice variatie a lor dincolo de limitele admise vor fi tratate ca semnale de alarmă.

 

Coborând în interiorul societăţii, vom identifica în primul rând celulele care sunt responsabile de tratarea fluxurilor de homeostază.

 

În general, fluxurile sunt condiţionate unele de altele, necesitatea unora fiind dictată de realizarea altora.

 

Diferenţa dintre celulă şi sistem constă în faptul că sistemul are un obiectiv valoric propriu ce nu depinde de celulă, în timp ce celula, deşi urmăreşte maximizarea propriilor ei performanţe, trebuie să se supună condiţiilor impuse de sistem.

 

Dorinţa oricărei entităţi sociale este ca, în ierarhia tuturor entităţilor din societatea din care face parte, să ocupe un loc cât mai bun. Aprecierea poziţiei pe o scară ierarhică revine la stabilirea unei relaţii de ordine după un anumit criteriu. Criteriul pe care îl căutăm va trebui să fie deci o mărime cuantificabilă. Îl vom numi „importanţa celulei” şi vom propune mai târziu o metodă de calcul pentru el. Ceea ce ştim deocamdată este că rolul oricărei celule este acela de a prelucra fluxuri. Rezultă că importanţa ei nu poate fi calculată decât în legătură cu aceste fluxuri, şi anume prin măsurarea nivelelor atinse de debitele fluxurilor prelucrate. Modificarea importanţei va fi deci posibilă numai prin modificarea debitelor la alte cote. Pentru imbunătăţirea poziţiei sale în „clasament”, fiecare celulă are algoritmul său de evaluare, un „model intern” ce are la bază experienţa trecută, concretizată sub forma unor proceduri intrate în rutină şi un set de informaţii cu privire la mediul inconjurător. Şi unele şi altele pot fi corecte sau false şi întotdeauna incomplete, motiv pentru care şi comportarea celulelor este foarte diferită.

 

Prin mediul înconjurător se înţelege tot ceea ce depăşeşte marginile celulei, indiferent dacă face sau nu parte din sistemul social din care a fost izolată. Reflectarea mediului înconjurator în celulă se realizează pe baza informaţiilor pe care celula le primeşte. Pentru algoritm, informaţiile despre mediu, la care se adaugă cele despre fluxurile ce le prelucrează, constituie setul de date cu care el operează.

 

Algoritmul urmăreşte să indice o soluţie care să maximizele importanţa celulei, cu respectarea restricţiilor impuse de către sistem. Soluţia se stabileşte în condiţii de incertitudine şi concurenţă, deoarece toate celulele au aceleaşi obiective. Modelul intern de la care plecăm va fi unul relativ simplu, dar care poate fi imbogăţit pe măsura dobândirii experinţei în utilizarea acestui instrument.

 

Circulaţia informaţiilor în domeniul social are reguli specifice, pe care va trebui să le identificăm, deoarece, printre alte cauze, informarea diferită a entităţilor are ca efect diversificarea modelelor interne şi, de aici, determinarea unor obiective concrete diferite de la o celulă la alta, chiar dacă pleacă de la condiţii aparent identice. Datorită dificultăţii surprinderii modului de circulaţie a informaţiilor, dificultăţi datorate lipsei unor criterii obiective şi totodată măsurable, strict necesare matematizării fenomenului, am elaborat un model special al comuncării.

 

Pentru o entitate socială, există două nivele ale debitelor: unul atins şi altul dorit. Diferenta dintre ele este factorul activ de dezvoltare. În cibernetica, el este generatorul reacţiei inverse. În domeniul social, efortul de acoperire a diferenţelor explică dinamismul societăţii. Realizarea dezideratelor tuturor celulelor este însă incertă, iar urmărirea evoluţiei lor este cu atât mai dificilă cu cât sistemul este mai complex. În faţa acestei complexităţi, singura soluţie posibilă este simularea evoluţiei sistemului, pas cu pas, pornind de la un moment iniţial şi până la epuizarea orizontului de timp propus. În ficare pas, pe care il vom denumi în contiunare tact, printr-un joc al cererii şi ofertei, după reguli pe care le vom discuta la momentul oportun, se vor modifica debitele fluxurilor pentru fiecare entitate. Noile nivele vor determina noi aşteptări, aăteptări ce vor fi reluate la următorul tact. Vom face acest lucru pentru o perioadă trecută, cu scopul verificării metodei şi al calculului unor coeficienţi de corelaţie, după care programele de calculator astfel întocmite vor fi disponible pentru simulări ale evoluţiei viitoare, în diferite ipoteze de lucru.

 

În cele ce urmează, se va prezenta modelul propus pentru sistemele economico-sociale.

 

 

3. MODELUL PROPUS

 

3.1 ELEMENTELE DE BAZǍ

3.1.1 Temeni primitivi

 

A. Entitatea sau celula socială, delimitată de cercetător odată cu stabilirea structurii sistemului studiat, este o noţiune abstractă, deci nu are unităţi de măsură proprii. În notaţiile ul­terioare celulele vor fi simbolizate prin indicii i, j, k sau l.

 

B. Fluxul este, de asemenea, definit de cercetător odată cu celula. Într-un sistem circulă fluxuri a căror natură fizică este în general diferită. Simbolul de recunoaştere a unui flux du­pă natura lui fizică este φ. Fluxul are două caracteristici: debi­tul şi gradul de emergenţă.

 

a. Debitul, notat se măsoară în unităţi fizi­ce corespunzătoare fluxului, scurse într-un tact. Spre exemplu, da­că tactul este de o lună, iar fluxul la care ne referim este mi­grarea populaţiei dintr-o localitate în alta, atunci debitul se poate măsura în număr de persoane migrate într-o lună. Deoarece putem avea şi fluxuri nemateriale, în aceste cazuri vor trebui gă­site unităţi de măsură care să reflecte indirect debitul în cauză. Astfel, pentru transferul de cunoştinţe tehnice putem evidenţia numărul de persoane instruite de către o entitate socială pentru alta, numărul lucrărilor de specialitate trimise etc. Indicii i şi j din notaţia debitului precizează celulele între care circulă de­bitul, întotdeauna în această ordine: primul indică celula de ori­gine a fluxului, iar al doilea, celula de destinaţie.

 

b. Gradul de emergenţă are nevoie pentru a fi definit de o mică explicaţie prealabilă. Diferitele fluxuri existente într-un sistem sunt dependente unele de altele. Astfel, pentru re­alizarea unei producţii materiale (fluxul 1) este nevoie de anga­jarea forţei de muncă corespunzătoare (fluxul 2), care, la rândul ei, reclamă un necesar de suprafaţă locuibilă (fluxul 3) ş.a.m.d. Se poate construi deci un arbore al dependenţei fluxurilor, înce­pând cu fluxurile de homeostază.

 

Numerele asociate intervalelor delimitate pe graf, prin li­niile punctate verticale, poartă numele de grad de emergenţă şi se noteaza cu .

 

În afara fluxurilor derivate, adică a celor a căror exis­tenţă este dictată de alte fluxuri, pot exista şi fluxuri numite libere sau independente - în figura 1, cele notate cu 10 şi 11.

 

 

Figura 1

 

Gradul de emergenţă al fluxurilor libere este mai mare cu 1 faţă de gradul de emergenţă al ultimului flux derivat.

 

Aşa cum a fost prezentat, se vede că fluxul este definit numai între două entităţi.

 

C. Informaţia şi mesajul. Pentru a fi consistent, mesajul are nevoie de trei caracteristici:

-         origine, care este întotdeauna celula care are nevoie să-şi acopere o diferenţă de debit, numită şi emiţător;

-         conţinutul, care precizează tipul de flux şi diferenţa (cu semn algebric) de debit ;

-         direcţia, adică celula către care va pleca mesajul, numi­tă receptor.

 

Un mesaj se realizează în două etape. Mai întâi, modelul intern al unei celule stabileşte că există o diferenţă de debit la unul din fluxurile sale, diferenţă ce va trebui acoperită. În acest moment se cunosc deci primele două caracteristici. Modelul circu­laţiei mesajelor, ce va fi prezentat la capitolul 3.2., va stabili care este direcţia. Abia după aceea mesajul este constituit şi poa­te circula de la emiţător la receptor. La receptor mesajul devine informaţie.

 

3.1.2 Propoziţii primitive

 

Propoziţia nr.1: Obiectivul sistemului social este reali­zarea integrală a fluxurilor de homeostază, obligatorii pentru toa­te entităţile responsabile de execuţia lor.

 

Propozitia nr.2: Obiectivul fiecărei entităţi sociale este obţinerea unui loc cât mai bun în ierarhia entităţilor din siste­mul social din care face parte.

 

Propozitia nr.3: Factorul activ în evoluţia sistemului social este diferenţa dintre nivelul atins şi nivelul dorit al unor fluxuri.

 

Propozitia nr.4: Nici o modificare de debit nu se produce fără necesitate. Aceasta nu este o parafrazare a lui Leucip („Nimic nu se întâmplă din nimic, ci totul dintr-un motiv şi cu necesitate"), ci o constatare, dealtfel bine redată de legea cererii şi a ofertei. Cu toată dorinţa entităţilor de a-şi modifica nivelurile debitelor în vederea creşterii importanţei lor, acest lucru nu se poate realiza decât dacă diferenţa este cerută de o altă entitate. Rezultă de aici că dinamismul sistemului va fi provocat numai de fluxurile ac­tive, adică cele a căror evoluţie viitoare este impusă sistemului, fie că este vorba de o evoluţie naturală, estimată ca atare, fie că este vorba de o evoluţie dorită. Sistemului nu-i rămâne să opereze decât cu fluxurile pasive, avertizând eventual când este în imposibilitate să-şi realizeze fluxurile active, adică cele impuse. Iniţiativa  entităţilor în timpul simulării este posibilă ca o „potenţă" al ca­rei mod de surprindere va fi prezentat mai tirziu.

 

Propoziţia nr.6: În momentul iniţial al simularii, nivelu­rile atinse pentru toate fluxurile sunt egal-necesare. Propoziţia se justifică prin faptul că starea iniţială a sistemului este o stare reală, singura sigură, iar valorile atinse sunt cele la care s-a ajuns în urma unui proces evolutiv care a eliminat prin selecţie tot ceea ce nu era util. Exactitatea surprinderii acestei stări depinde numai de corectitudinea observării sistemului real şi nu are legatură cu logica noastră privind desfăşurarea viitoare a evenimentelor.

 

Propoziţia nr.7: Comunicarea mesajelor între entităţi se face după un model probabilist în care intervin frecvenţa legătu­rilor informaţionale şi relaţiile afective dintre ele.

 

Propoziţia nr.8: Existenţa unui flux între două entităţi este premisa unei legături informaţionale.

 

Propoziţia nr.9: Un mesaj recepţionat de o entitate rămâne în modelul ei intern până la înlocuirea mesajului cu un altul pri­vitor la acelaşi flux.

 

Propoziţia nr.10: 0 entitate emite mesaje, câte unul pen­tru fiecare tact, cât timp are o diferenţă de acoperit.

 

Propoziţia nr.11: Decizia luată de o entitate la solici­tarea unei diferenţe de flux de către un partener este rezulta­tul trecerii mesajului primit prin modelul intern al entităţii.

 

3.1.3 Termeni derivaţi

A. Valoarea fluxului

Debitul total de intrare a unui flux într-o entitate j poa­te fi împărţit între mai mulţi„furnizori". Fiecare dintre aceşti fur­nizori realizează o cotă parte din necesarul entităţii j; el are astfel un grad de participare la realizarea unei valori de ho­meostază a sistemului. Valoarea fluxului φ de la i la j se de­fineşte recursiv cu formula:

              (1)

unde  este valoarea fluxului de ieşire din j care a recla­mat fluxul φ ca necesar de intrare în j; el are valoarea 1 pen­tru fluxurile de homeostază. Această mărime este adimensională şi ea ne permite să renunţăm mai departe la unităţi de măsură fizice care ar fi fost in­comode în calcule.

Raportul  are valoarea 1 dacă i este singurul furnizor de flux φ pentru j.

 

Se vede că  

 

B. Energia fluxului

Formula de definiţie este:

                  (2)

 

Un flux mai  „aproape" de fluxul de homeostază are mai multă energie decât unul de aceeaşi valoare, dar mai „departe". Raportul mai poate fi numit şi „stringenţa" fluxului.

 

 

C. Importanţa celulei

 

Se defineşte coeficientul de importanţă al unei celule ca raport între energia totală a fluxurilor produse de o celulă şi energia fluxurilor produse de toate celulele sistemului:

              (3)

Rezultă că C_i este subunitar, cu proprietatea.

C_i permite acum să se stabilească o relaţie de ordine între celu­le, care reflectă tocmai importanţa celulelor în sistem, privită din punct de vedere al fluxurilor realizate.

 

D. Ponderea producţiei de flux T, realizată de entitatea i faţă de producţia totală de acelaşi flux, realizată de întreaga so­cietate:

                  (4)

 

E. Energia celulei.

 

Se calculează ca energie totală a fluxurilor produse:

                   (5)

 

3.2 MODELUL COMUNICĂRII

 

Politica unei entităţi sociale se concretizează prin efor­tul de atingere a unor niveluri determinate ale fluxurilor de in­trare/ieşire. Dar pentru existenţa unui flux este nevoie de doi parteneri: unul care dă şi altul care primeşte. În speranţa gă­sirii celui de al doilea partener, fiecare entitate emite mesaje pe toate canalele de comunicaţie de care dispune, cu privire la intenţiile sale de a-şi modifica nivelul debitelor la anumite flu­xuri.

 

Această lucrare nu va intra în detalii ale teoriei co­municaţiei, ci va accentua un aspect mai puţin tratat în aceasă teorie, cel al direcţiilor de propagare a mesajelor. Pentru o en­titate există n-1 direcţii de propagare a unui mesaj, n fiind numărul total de entităţi din sistem. Deoarece este firesc ca un mesaj să nu plece în mod inutil pe toate aceste direcţii, să în­cerăm să identificăm regulile după care se petrece în realitate selecţia direcţiilor, reguli care vor fi apoi reproduse în modelul nostru de simulare.

 

Mai întâi se va completa setul de termeni derivaţi, descris la elementele de bază, cu termenii specifici pentru descrierea re­ţelei de comunicaţii.

 

De precizat că vom rămâne la noţiunea de mesaj, fără a se discuta despre semnal, acesta din urmă fiind specific canalului de comunicaţie care, deocamdată, nu ne interesează. Mesajul este vestea, ştirea, el are un conţinut de idei, deci se referă la ceea ce s-a transmis înainte de codificarea specifică canalului şi este egal cu ceeaa ce s-a recepţionat la primitor după decodificare.

 

F. Legătura i - j pe fluxul φ se noteaza cu  şi se defineste astfel:

 1 dacă  > 0

 0 dacă  = 0                    (6)

 

G. Relaţia i - j se calculează ca raport între numărul legăturilor de la i la j şi numărul legăturilor de la j la i.

                       (7)

 

Dacă acest raport este > 1 spunem ca între i şi j există o relatie de dominare a lui j faţă de i şi invers.

 

H. Afinitatea entităţii i faţă de entitatea j se calculează cu formula;

                    (8)

S-a ajuns la această formulă plecând de la constatarea că relaţiile de ordin afectiv au ca substrat legături concrete care le stimuleaza şi care, de asemenea, sunt stimulate de relaţiile afective.

 

După cum se vede, numărătorul reprezintă numărul legături­lor existente între i şi j, indiferent sensul, iar numitorul es­te numărul total al fluxurilor întreţinute de i. Rezultă că afini­tatea lui i faţă de j este diferită de afinitatea lui j faţă de i, deoarece numitorul poate avea valori diferite.

 

I. Permeabilitatea legăturii de la i la  j pentru fluxul φ este dată de formula:

                             (9)

 

unde  este ponderea producţiei de flux φ realizat de către en­titatea i şi a fost definit prin relaţia (4). Permeabilitatea caracterizează astfel capacitatea unei legături de a transmite me­saje.

 

J. Probabilitatea transmisiei unui mesaj de la i la j cu privire la fluxul φ, cu alte cuvinte probabilitatea transmisie pe legătura informaţinonală  se calculează astfel

                      (10)

 

Avem acum un indiciu prin care să putem decela direcţia pro­babilă pe care va pleca un mesaj. În timpul simulării, un generator de numere aleatoare va face în locul nostru oficiul de selectare a adresantului pentru mesajul emis, respectând distribuţia de probabiliităţi calculată în prealabil după criterii logice.

 

De menţionat că un mesaj circulă numai între două entităţi. Entitatea receptoare îl introduce în modelul său intern, de unde are următoarele posibilităţi:

-         este valorificat pentru sine de entitatea receptoare;

-         este transmis mai departe în tactul următor, entitatea com­portându-se ca o staţie releu;

-         este stins.

 

Criteriile de selectare a uneia dintre cele trei căi, fiind o problemă a modelului intern, va fi discutată la locul potrivit.

 

3.3 MODELUL INTERN

3.3.1 Submodelul fluxurilor

 

După ce s-a stabilit o modalitate de apreciere a poziţiei unei celule în cadrul societăţii din care face parte, este evident acum că aspiraţiile oricărei celule converg către îmbunătăţirea a­cestei poziţii, cu alte cuvinte ocuparea unui loc cât mai bun în ierarhia socială. Deci :

 

                  (11)

 

 

Probema are însă şi restricţii şi încă de multe feluri. Astfel, unele sunt imediate.

 

a. Creşterea oricărui debit nu poate depăşi un anumit ritm de creştere.

         (12)

 

unde cu  s-a notat valoarea ritmului maxim de creştere, calcu­lat pentru tactul t. Valorile ritmurilor de creştere pentru toate fluxurile realizate de toate celulele pot fi constante sau va­riabile. În al doilea caz, variaţia trebuie precizată printr-o e­cuaţie de definiţie. Este uşor de intuit că determinarea corectă a acestor ritmuri este una din condiţiile reuşitei simulării şi, în acelaşi timp, una dintre cele mai dificile probleme. Ea trebuie să se bazeze pe calcule statistice ale datelor culese din activitatea trecută şi pe estimări ştiinţifice privind evoluţia viitoare.

 

b. Valoarea maximă a unor debite poate fi plafonată supe­rior. Acest plafon este cunoscut din considerente practice ce depind de problema concretă studiată. Teoretic, orice debit are o valoare maxim posibilă, eventual infinit:

               (13)

c. Valoarea totală a debitelor produse de întreg sistemul pentru anumite fluxuri poate fi plafonată superior.

                    (14)

Limitarea inferioară nu este o restricţie. Nerespectarea ei este considerată o nereuşită şi se semnalează cu un avertisment în timpul simulării. Din analiza datelor calculate în timpul simu­lării, cercetătorul se va pronunţa potrivit situaţiei, dacă dife­renţele de acest gen sunt grave sau nu, dacă pot fi acoperite din alte resurse sau, eventual, reia programul de simulare după ce a făcut o ajustare unor date de intrare.

 

Rezultă din cele expuse până aici că nu orice flux poate fi mărit fără limite, în speranţa câştigării unui loc mai bun în ierar­hia celulelor din societate. În consecinţă, devine obligatorie efec­tuarea unei selecţii şi anume: între doi parteneri care solicită acelaşi flux, va fi ales cel care îi asigură o creştere mai mare a coeficientului propriu de importanţă, ceea ce se reflectă în relaţia (11).

 

d. Realizarea unor fluxurl de ieşire dintr-o celulă este posibilă numai prin existenţa unor fluxuri de intrare, după o anumită „reţetă". Aşa cum am mai arătat, un produs finit nu poate fi realizat de către o întreprindere industrială dacă nu dispune de materia primă necesară. Modificarea debitului unui flux de ieşire face deci obligatorie modificarea corespunzatoare a tuturor debitelor fluxurilor de intrare implicate. În acest scop, este ne­cesar să cunoaştem „reţeta de fabricaţie", ceea ce revine la pre­cizarea coeficienţilor de transformare a lui φ₁ in φ₂, φ₃, carac­teristici celulei i. Aceşti coeficienţi specifici fiecarei celule se vor nota .  În notaţia noastră, φ₁ reprezintă întot­deauna fluxul de ieşire, iar φ₂ fluxul de intrare necesar.

Ca şi în cazul ritmurilor de creştere, coeficienţii de transformare pot fi constanţi sau descrişi prin ecuaţii. Dacă, spre exemplu, considerăm ca flux de ieşire valoarea producţiei glo­bale a unei întreprinderi, iar ca flux de intrare, numărul de mun­citori, atunci coeficientul de transformare este ceea ce în prac­tica economică se numeşte productivitatea muncii.

 

e. Micşorarea unui debit de intrare se face întotdeauna cu adresă precisă, începind cu partenerul care furnizează fluxul de acel tip şi care are cota de participare cea mai mică. Ea se calculeaza cu formula:

unde j este celula interesată să-şi micşoreze debitul. Reducerea unui debit se face în cantitatea necesară până la valoarea zero.

 

Aceasta listă de restricţii nu este limitată. În simulare, ea poate fi completată cu altele, pentru a cuprinde şi condiţii particulare.

 

3.3.2 Submodelul de emisie a mesajelor

 

S-a arătat că o informaţie, odată intrată în modelul intern al unei entităţi sociale, are trei posibilitati:

• este valorificată pentru sine;
• este transmisă mai departe;
• este stinsă.

Prima posibilitate este folosită atunci când tipul de flux la care se referă informaţia este produs sau a fost produs în tre­cut de către entitatea respectivă. Aceasta va încerca să-şi regleze debitul în mod corespunzător. Chiar dacă nu poate acoperi diferenţa solicitată într-un singur tact, entitatea respectivă va reţine in­formaţia şi se va repeta încercarea în tactele următoare. Oricum, informaţia nu este retransmisă altor celule.

 

Dacă entitatea nu este interesată în producerea fluxului respectiv, atunci va folosi una din cele două posibilităţi care-i rămân, astfel:

- conform regulilor descrise la capitolul despre comunica­re, se va selecta un partener ca adresant posibil al unui mesaj; reamintim că probabilitatea alegerii unuia sau altuia din parteneri, printre celelalte celule ale societăţii, se calculează cu formula 10:

- se calculează relaţia i - j dintre entitatea în cauză şi partenerul selectat cu formula 7 :

Dacă raportul este , deci există o relaţie de dominare a lui j faţă de i sau una de egalitate, atunci informaţia se stinge (posibilitatea a treia). Dacă raportul este subunitar, atunci mesajul va fi transmis entităţii j.

 

3.3.3 Submodelul normelor etice

 

Pentru a putea surprinde câteva aspecte din autonomia în comportare a entităţilor sociale, se consideră câţiva functori deontici. De menţionat că această problemă este discutabilă la infi­nit. Ceea ce propunem în cele ce urmează este doar o soluţie din­tre foarte multe alte soluţii posibile, care însă sperăm să răs­pundă satisfăcător necesităţilor practice de modelare a unui proces extrem de complex.

 

Functorii propuşi sunt următorii:

 

a. Din punct de vedere al afectivităţii faţă de partenerul solicitant :

• DORINŢǍ
• INDIFERENŢǍ
• REFULARE

 

b. Din punct de vedere al obligaţiei sociale de a răspunde la solicitare:

• OBLIGATIVITATE
• NON-OBLIGATIVITATE

 

c. Din punct de vedere al posibilităţilor practice de rea­lizare a solicitării:

• POSIBILITATE
• LIPSǍ-POSIBILITATE

 

Ne aflăm în faţa unei probleme de logică polivalentă care s-ar putea dezbate pe multe pagini. Vom alege însă o cale mai di­rectă, care să ne conducă la o soluţie algoritmică, utilizabilă în programarea pe calculator a modelului de simulare. Dealtfel, utili­zarea în practică a unor noţiuni ca „adevărat" sau „fals" ar apărea destul de ciudată, deoarece o propoziţie afirmativă traduce o jude­cată emisă asupra unui obiect, în timp ce o propozitie negativă traduce o ju­decată emisă asupra unei judecăţi. Adevărul şi afirmaţia au un ca­racter existenţial pe când falsul şi negaţia pură (fără condiţii determinate, când ele se transformă în „adevar” şi „afirmaţie") au un caracter verbal.

 

Mai întâi vom asocia functorilor următoarele simboluri:

 

DORINTA	D
INDIFERENTA	I
REFULARE	R
OBLIGATIVITATE	O
NON-OBLIGATIVITATE	N
POSIBILITATE	P
LIPSA-POSIBILITATE	L

 

Vom analiza combinaţiile posibile în două etape. În prima etapă, discutăm relaţiile dintre functorii din categoriile a doua şi a treia.

 

Figura 2

 

Între P şi O există o relaţie de surpaordonare, între L şi N una de subordonare. Între P şi N relaţia este facultativa, în timp ce între O şi L avem de-a face cu o contradicţie.

 

Cele patru posibilităţi pot fi considerate ca functori com­puşi. Nu am rezolva nimic, dacă nu am observă că doi dintre ei - şi anume CONTRADIŢIA (OL) şi SUBORDONAREA (NL) pot fi reduse la unul singur, deoarece în ambele cazuri este vorba probabil de un mesaj greşit adresat, entitatea nefiind profilată pe execuţia fluxu­lui solicitat. Cerem de aceea derogare pentru inconsecvenţa teoretică pe care o facem transformând o relaţie într-un nou functor, scopul ei fiid doar simplificarea expunerii, fără să vicieze fondul proble­mei şi vom reţine pentru etapa a doua următorii trei functori:

 

 

Rămîne acum să analizăm relaţiile posibile între aceştia trei şi functorii caracteristici pentru afectivitatea faţă de parte­nerul solicitant.

 

D        I         R

S        F        C

 

Figura 3

 

Relaţia DS este prioritară, DF foarte probabilă şi DC nesperată.

 

D        I         R

S        F        C

 

Figura 4

 

Relaţia IS este foarte probabilă, IF nesigură şi IC de respingere.

 

D        I         R

S        F        C

 

Figura 5

 

Relaţia RS este discutabilă, RF improbabilă şi RC de respingere.

 

Vom sistematiza acum toate posibilităţile în următorul tabel:

 

 

Coloana a 4-a indică şansele solicitării de a fi sau nu onorată de către entitatea care a primit mesajul. În coloana a 5-a s-au asociat note de la zero la cinci fiecăreia dintre posibilitaţi. Avem astfel un criteriu de ordonare a solicitărilor, respectiv a mesa­jelor. În simulare, ele vor fi luate în consideraţie şi rezolvate în ordinea descrescătoare a notelor, în limitele date de restricţiile modelului fluxurilor.

 

De remarcat că de la rândul 7 în jos, în cazul în care so­licitarea nu a putut fi onorată, entitatea va introduce submodeiul de emisie a mesajelor, în vederea retransmiterii lui către un alt partener.

 

 

 

4, SIMULAREA EVOLUŢIEI SISTEMULUI

 

4.1. Tehnica de simulare

 

Teoria simulării este astăzi suficient de evoluată pentru a putea furniza instrumentele teoretice de care avem ne­voie pentru rezolvarea problemelor noastre. Nu ne rămâne decât să adoptăm acea combinaţie de metode, cu care să realizăm un model cât mai apropiat de obiectivul urmărit.

 

-         Ceea ce se „vede” în evoluţia unui sistem este variaţia debitelor fluxurilor. Acest gen de simulare este descris amănunţit de Forrester în [6]. Am arătat însă în capitolul precedent că modificarea debitelor nu se produce în mod mecanic. Ea este urmarea unei decizii luate de către modelul intern al fiecărei entităţi sociale;

-         Simularea deciziilor luate de modelele interne ale entităţilor se realizează printr-o tehnică de tip Monte-Carlo, asociată cu un complex de condiţii care urmăresc maximizarea importanţei entităţii;

-         Alături de fluxuri, în interiorul unui sistem circulă mesaje, care stau la baza deciziilor.

 

Înainte  de a prezenta schema globală de simulare, vom mai face câteva observaţii. Astfel, fluxurile nu sunt toate la fel. Remarca aparţine lui N. Georgescu-Roengen, care - în modelul lumii pe care ni-l propune în [7] -, admite două elemente fundamentale: fluxuri şi stocuri, dând ca exemplu de flux razele solare, are fac posibilă viaţa pe pământ („viaţa este un dar al soarelui”), iar ca exemplu de stocuri dă rezervele minerale ale planetei. Deci stocul are sens de tezaur, de rezervor şi nu de diferenţă dintre intrări şi ieşiri. Această diferenţă, coroborată cu noţiunile economice de mijloace fixe şi circulante ne-au întărit convingerea că şi în societate fluxurile trebuie tratate diferenţiat dar  într-o altă accepţie,  şi anume:

-         fluxuri care, asemenea razelor solare, intră într-o celulă, participă la „producţia” acelei celule, fiind de aceea necesare într-o cantitate determinată de producţie, dar nu se tezaurizează;

-         fluxuri care se acumulează într-un tezaur, atunci când intră înr-o celulă şi diminuează tezaurul atunci când iese din cealală. Îl vom numi potenţial. Un exemplu potrivit este numărul de muncitori existenţi într-o întreprindere. El este necesar pentru producţia întreprinderii ca potenţial şi nu ca flux. Ne-untilizarea lui integrală într-un anumit moment nu-i modifică valoarea, ci constituie doar un aspect care va interveni în politica viitoare a celulei.

 

În vederea simulării, este necesar să se mai facă o difenţiere a fluxurilor în:

-         fluxuri active şi

-         fluxuri pasive.

Cele active sunt dirijate, adică au valori cunoscute în fiecare tact.Evoluţia lor poate fi naturală sau impusă.

 

Fluxurile de homeostază intră întotdeauna în categoria fluxurilor active. La acest tip de fluxuri nu pot exista diferenţe între nivelul atins şi nivelul dorit. În schimb, pot exista diferenţe între nivelul atins înr-un tact şi nivelul din tactul precedent. Această diferenţă trebuie acoperită şi ea este generatoare de diferenţe pentru fluxurile derivate, care din punctul de vedere al acestei clasificări sunt fluxuri pasive.

 

Valorile fluxurilor active sub formă de şiruri de constante sau ecuaţii se introduc în programul de simulare de la începutul lucrului.

 

Din cele expuse până aici putem vedea că evoluţia sistemului simulat este consecinţa variaţiei şi coroborării permanente dintre cele două notiuni fundamentale: mesaje şi fluxuri. Circuaţia lor este dirijată prin deciziile luate de modelele interne ale fiecărei entităţi. Succesiunea operaţiilor în programul de simulare este ilustrată în următoarea schemă:

 

Figura 6

 

Semnificaţiile notaţiilor sunt:

B.M.R.          – Blocul Mesajelor Receptionate

M.O.            - Modului de Ordonat

B.M.O           - Blocul Mesajelor Ordonate

 

Mai întâi mulţimea mesajelor recepţionate va fi tratată de un prim model de stabilire a conduitei, conform modelului de norme etice şi de ordonare a mesajelor după notele primite de acest model.

 

Informaţiile din B.M.O. urează să fie tratate de modulul care se ocupă de reglarea fluxurilor. El va decide dacă solicitarea va fi acceptată sau nu şi va regla în mod corespunzător fluxul în cauză. Din acest modul rezulă deci două categorii de informaţii: cele referitare la solicitările respinse şi cele referitoare la solicitările acceptate.

 

 

Figura 7

 

          M.F.             - Modulul Fluxurilor

          B.S.R.          - Blocul Solicitărilor Respinse

          B.S.A.          - Blocul Solicitărilor Acceptate

 

Solicitările respinse vor fi tratate de modulul de emisie a mesajelor, care va stabili adresantul, dacă nu va decide stingerea informaţiei.

 

Figura 8

 

          M.E.   - Modulul de Emisie a Mesajelor

          B.M.E.          - Blocul Mesajelor Emise

 

Solicitările acceptate au ca efect modificarea corespunzătoare a fluxurilor. După efectuarea modificărilor, prin care s-au recalculat de altfel nivele atinse, modelul intern al entităţii stabileşte noile nivele dorite şi diferenţa dintre ele. Potrivit diferenţelor, va emite mesaje către partenerii ei.

 

Figura 9

 

          M.A.   - Modulul de Adaptare

 

Schema completă va fi deci următoarea:

 

Figura 10

În tactul următor, toate mesajele din B.M.E. se vor găsi în blocurile mesajelor recepţionate (B.M.R.) ale entităţilor destinatare, iar ciclul se reia.

 

4.2 Analiza rezultatelor simulării

 

Analiza evoluţiei fluxurilor şi mai ales interpretrea ei se realizeazză de către utilizator, prin raportarea la fenomenul real, care a fost simulat. În acest moment, interesantă ni se pare desprinderea unor metode generale de analiză, atât în ceea ce priveşte evoluţia valorilor, cât şi starea finală a sistemului.

 

Pentru analiza modificărilor structurale ale sistemului, indicăm o metodă elaborată de Simon Béléné şi Frigyes Ervin şi prezentată în [15].  În această metodă se consideră vector de structură acel vector f_i, în care valorile f_i,k sunt caracteristici ale relaţiilor, care reflectă ponderea grupei de ordinul k în perioada de timp i. El trebuie deci să ia valori în intervalul [0,1], iar suma lor să fie egală cu 1.

 

Sunt mai multe mărimi dintre cele calculate de noi în aceasta lucrare, care îndeplinesc aceste condiţii. Cea mai elocventă rămâne totuşi coeficientul de importanţă al celulelor. Se mai pot, de asemenea, constitui vectori de structură considerând diferite fluxuri, simple sau conbinate, potrivit interesului paticular pe care îl pot prezenta într-o problemă concretă.

 

Pornind de la doi vectori de structură se introduc două tipuri de indicatori numerici:

 

-         unghiul de curbură

cos           (15)

 

-         distanţa dintre cei doi vectori

                (16)

 

Se pot efectua două măsurători de relaţii impotante cu fiecare dintre cele două mărimi:

-         Se iau perechile de vectori

şi se calculează unghiurile de curbură

,, . . .

şi distanţele

,, . . .

 

Aceste serii arată care este mărimea modificării structurale care a avut loc.

 

-         Se iau perchile de valori

şi se calculează unghiurile de curbură.

,, . . .

şi distanţele

,, . . .

 

Această serie măsoară abaterile referitoare la perioada de început.

 

Ambele serii se referă la intensitatea modificărilor, fără să spună nimic despre sensul abaterilor. De asemenea, ele permit compararea vectorilor doi câte doi. Cunoaşterea sensului modificării prezintă interes atunci când există un scop, o direcţie principală de dezvoltare. Direcţia efectivă, rezultată în urma simulării este:

   (17)

unde notaţiile sunt:

-          - vectorul de structură scop

-          - vectorul de structură iniţială

-          - vectorul de structură finală

 

Pentru analiza comparativă a stării finale a sistemului (după simulare) faţă de starea iniţială, sugerăm în continuare câteva mărimi caracteristice, ce s-ar putea calcula pe lângă cele prezentate deja.

 

Mărimi caracteristice entităţilor

 

a)     Polaritatea

Se calculează ca număr total de fluxuri întreţinute de o entitate, indiferent dacă sunt fluxuri de intrare sau de ieşire.

             (18)

b)     Emergenţa medie

Coeficientul de importanţă nu este singura mărime ce caracterizează poziţia unei celule în societate. O altă marime caracteristică este emergenţa medie, calculată cu relaţia:

     (19)

Se vede că  este calculat ca valoare medie a emergenţei fluxurilor produse de entitatea în cauză. Valori mici pentru  indică o apropiere a celulei faţă de vectorii de homeostază ai sistemului.

 

c)     Gradul de integrare

Este o mărime fuzzy şi reprezintă chiar funcţa de apartenenţă a celulei la sistem. Se calculează ca inversa emergenţei medii:

                            (20)

Se vede că ia valori în intervalul [0,1], cu atât mai mari cu cât ponderea fluxurilor de homeostază realizate este mai mare.

 

Desebit de interesantă este urmărirea evoluţiei acestei mărimi, în comparaţie cu evoluţia energiei celulei, o altă mărime caracteristică pentru „producţia” entităţilor sistemului social. (Amintim că energia celulei a fost calculată cu relaţia (5).) „Fidelitatea” unei celule faţă de societate depinde în mod evident de aceste două mărimi, de aceea comportarea ei cea mai probabilă poate fi apreată în funcţie de evoluţia valorilor prinse de cele două mărimi.

 

Astfel, un grad de integrare ridicat indică o comportare fidelă intereselor societăţii. Scăderea lui, însoţită de o scădere corespunzătoare a energiei celulei, încă nu indică nimic, dar scăderea gradului de integrare în acelaşi timp cu creşterea energiei indică o îndepărtare de interesele societăţii, ceea ce poate consititui o premisă a desprinderii entităţii din sistem, deci o mutaţie. Ne apropiem astfel de teoria catastrofelor a lui Thorn, care indică momentul de traversare a unei curbe cusp ca fiind poziţia critică, cea mai favorabilă modificărilor buşte de atitudine.

 

Mărimi caracteristice sistemului

 

a)     Emergenţa maximă

Reflectă nivelul de profunzime a sistemului. Modul de calcul rezultă imediat din diferenţa evergenţei.

 

b)     Complexitatea sistemului

Propunem formula:

               (21)

în care n este numărul total de celule ale sistemului ce întreţin cel puţin un flux cu celelalte celule. Precizarea este necesară pentru că există posibilitatea ca, în timpul simulării, unele celule să se desprindă din sistem.

 

c)     Omogenitatea sistemului

Se calculează ca dispersie a gradului de integrare al celulelor.

              (22)

unde  este o valoare medie a gradului de integrare al celulelor, calculat cu relaţia:

 

 

d)     Gradul de specializare al sistemului

Se calculează ca raport între numărul de fluxuri care circulă în sistem şi numărul tipurilor de fluxuri exisente.

                  (23)

 

e)     Gradul de centralizare

Se calculează ca raport între polaritatea maximă (cea mai mare polaritate găsită la celulele sistemului) şi polaritatea medie a celulelor sistemului:

unde:

                  

                  

 

f)      Energia informaţională a sistemului

Deoarece coeficientul de importanţă al celulelor se bucură de proprietatea

şi este calculat ca o pondere a celulelor în sistem, putem să aplicăm formula propusă de academician O. Onicescu în „Elemente de statistică informaţională cu aplicaţii” (Editura Tehnică, Bucureşti, 1979) la pagina 14 pentru energia informaţională, astfel:

              (25)

cu toate proprietăţile ei.

 

g)     Divergenţa informaţională

L. Tövissi, E. Scarlat şi Al. Tasnadi, în „Metode şi modele ale analizei economice structurale” (Editura Stiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1979) discută o multitudine de medode pentru analiza structurii sistemelor, metode pe care le puntem împrumuta, folosind noţiunile propuse de noi, ca: polaritatea celulelor, coeficientul de importanţă, etc. Vom aminti aici o singură posibilitate, şi anume compararea structurii sistemului la începutul şi la sfîrşitul simulării cu formula divergenţei informaţionale definită ca:

    (26)

unde:

X₁,X₂,X₃, . . . .X_n

şi

Y₁,Y₂,Y₃, . . . Y_n

Pot fi, de exemplu, numărul de fluxuri întreţinute de celulele sistemului.

 

 

BIBLIOGRAFIE

1. Bîrlea, S.       Iniţiere în cibernetica sistemelor industriale, Editura tehnică, Bucureşti, 1975

2. Draganescu, M. - Profunzimile lumii materiale.

Editura politică, Bucureşti, 1979

3. Dumitriu, A.  Logica polivalentă.

Editura enciclopedică, Bucureşti, 1971

4. Dumitriu, A.  Teoria logicii.

Editura Academiei RSR, Bucureşti, 1973

5. Enescu Gh.    Teoria sistemelor logice

Editura ştiinţifică şi enciclopedică, Bucureşti, 1976

6. Forrester,J.   Principiile sistemelor

Editura tehnică, Bucu­reşsti, 1979

7. Georgescu-Roegen,N. - Legea entropiei şi procesul economic

Editura politică, Bucureşti, 1979.

8. Gheorghiu,C. - Programarea producţiei după o metodă dinamică

În Studii şi cercetări de calcul economic şi cibernetică economică, nr.1, 1974

9. Gheorghiu C. - Despre câteva principii antientropice în e­voluţia

sistemelor de producţie, comunicare la sesiunea

ştiinţifică jubiliară a Universităţii Braşov, februarie

1974

10. Gheorghiu C. - Dinamica indicatorilor

Comunicare la cel de IV-lea simpozion „Informatica

şi conducerea, Cluj-­Napoca, 1978

11. Gheorghiu C. – „Simularea fabricaţiei cu aplicaţii în

programarea producţiei”, comunicare la sesiunea

de co­municări ştiinţifice a Universităţii din Craiova, noiembrie, 1973

12. Gheorghiu C. - 0 soluţie pentru programarea producţiei

În Revista economică nr.14, sept.,1974

13. Gheorghiu,C. Moldovan V., - „Metode statistico-matematice

folosite în analiza stării de sănătate a copiilor”, comunicare la sesiunea C.I.T. - Braşov,1979

14. Mackenzie,K.D. - A Theory of Group Structures

Gordon and. Breach Science Publishers, London

15. Majoros, P. - Metode pentru determinarea modificărilor

structurale, în Statisztikai Szemle, 56, nr.7,1978

(R.P.Ungară) pag. 696-712.

16. Malita,M. - (coord.) Sisteme în ştiinţele sociale

Editura Aca­demiei RSR, Bucureşti, 1977.

17. Mihoc,Gh., Ciucu.V., Muja.A., - Metode matematice ale

aşteptă­rii Editura Academiei RSR, Bucureşti, 1973.

18. Niculescu-Mizil,E. - Funcţia cantităţii de informaţie în stabilita-

                        tea unui sistem social

Editura Academiei RSR, Bucureşti, 1979.

19. Onicescu 0., Stefănescu.V. - Elemente de statistică informaţio-

                        nală cu aplicaţii. Editura tehnică, Bucuresti,1979.

20. Piaget,J. – Structuralismul

Editura ştiinţifică, Bucureşti, 1973.

21. Simoi, C.- Sociomatica

Editura Litera, Bucureşti,1978.